Question

（2012•拱墅區一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點，點P（a，b）是反比例函數y=

1

2x

在第一象限內的任意一點，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y 軸于點N，PM，PN分別交直線AB于E，F，有下列結論：①AF=BE；②圖中的等腰直角三角形有4個；③S_△OEF=

1

2

（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中結論正確的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：由P的坐標及四邊形PNOM為矩形，表示出OM=a，即為E的橫坐標，PM=b，即為F的縱坐標，又E和F都為直線y=-x+1上的點，將E的橫坐標代入直線y=-x+1中求出E的縱坐標，將F的縱坐標代入直線y=-x+1中求出F的橫坐標，進而確定出EM和NF，表示出PE及PF，然后三角形OEF的面積=矩形PNOM的面積-直角三角形NOF的面積-直角三角形OEM的面積-直角三角形PEF的面積，求出各自的面積代入，整理后即可求出三角形OEF的面積，可對選項③進行判斷；由B和E的坐標，利用兩點間的距離公式表示出BE的長，同理由A和F的坐標，表示出AF的長，可判斷BE與AF是否相等；圖中的等腰直角三角形有4個，分別為三角形AOB，三角形BNF，三角形PEF及三角形AEM，由直線y=-x+1，分別令x=0及y=0，求出對應的y與x的值，確定出A和B的坐標，進而得到OA=OB，由OA與OB垂直，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，即∠OBA=∠OAB=45°，又∠BNF與∠EMA都為直角，可得出三角形BFN與三角形AEM都為直角三角形，同理三角形PEF也為等腰直角三角形，即可確定出圖中等腰三角形有4個，選項②正確；由P為反比例函數圖象上的點，將P的坐標代入反比例函數解析式中求出2ab=1，將表示出AF及BE代入AF•BE中，計算后將2ab=1代入，可得出AF•BE=1，又OA=OB=1，得到OA•OB=1，即AF•BE=OA•OB，變形后得到一個比例式，再根據夾角都為45°，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出三角形BOE與三角形AOF相似，根據相似三角形的對應角相等可得出∠BOE=∠AFO，而∠BOE=∠BOF+∠FOE，∠OFE為三角形BFO的外角，利用外角性質得到∠OFE=∠BOF+∠OBF，根據等式的性質及等量代換可得出∠FOE=∠OBF=45°，選項④，綜上，得到所有正確的選項．

解答：解：∵P（a，b），∴OM=a，PM=b，
∴點E的橫坐標為a，F的縱坐標為b，
又E和F都在直線y=-x+1上，
∴點E（a，1-a），點F（1-b，b），即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，
∴PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，PF=PN-NF=a-（1-b）=a+b-1，
∴S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a（1-a）-

1

2

b（1-b）-

1

2

（a+b-1）²
=

1

2

（a+b-1），選項③正確；
∵BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b，
∴BE與AF不一定相等，選項①錯誤；
∵直線y=-x+1分別交x軸、y軸于A，B兩點，
∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），
∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，即△AOB為等腰直角三角形，
又∠BNF=90°，∠NBF=45°，
∴△BNF為等腰直角三角形，
同理△PEF和△AEM都為等腰直角三角形，
則圖中等腰三角形有4個，選項②正確；
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠EBO=45°，
∵點P（a，b）是曲線y=

1

2x

上一點，
∴2ab=1，即AF•BE=

2

a•

2

b=2ab=1，
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
又∠BOE=∠BOF+∠FOE，且∠AFO=∠OBF+∠BOF，
∴∠FOE=∠OBE，又∠OBE=45°，
則∠FOE=45°，選項④正確，
綜上，正確選項的序號有：②③④．
故答案為：②③④．

點評：此題屬于反比例函數的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，點的坐標與平面圖形，以及兩點間的距離公式，是一道中考常考的題型．