Question

【題目】已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且

分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）證明：連接OE，則OB=OE．

∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.

∴△OBE是等邊三角形.

∴∠OEB=∠C=60°.

∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．

∴∠OEF=∠EFC=90°．

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接DF,

∵DF是⊙O的切線， ∴∠ADF=90°．

設⊙O的半徑為r，則BE=r，EC=，AD=．

在Rt△ADF中，∵∠A=60°， ∴AF=2AD=．

∴FC=．

在Rt△CEF中 ，∵∠C=60°， ∴EC=2FC，

∴=2（），

解得，

∴⊙O的半徑是．