Question

如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．連接BD交AE于M，連接CE交AB于N，BD與CE交點為F，連接AF．

（1）如圖1，求證：BD⊥CE；

（2）如圖1，求證：FA是∠CFD的平分線；

（3）如圖2，當AC=2，∠BCE=15°時，求CF的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）證明△CAE≌△BAD即可；

（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K，由△CAE ≌△BAD，可以得到∠BFN=∠NAC=90°，即可得到BD⊥CE；

（3）先求出∠ACN =30°，再由含30°角的直角三角形的性質可以求出CF的長．

試題解析：（1）如圖1

∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，∴ ∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，

∴ △CAE≌△BAD．∴ ∠ACF=∠ABD，∵ ∠ANC=∠BNF，∴ ∠BFN=∠NAC=90°，∴ BD⊥CE；

（2）如圖1，

作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K，由（1）知 △CAE ≌△BAD，∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ．∴ AG = AK，∴ 點A在∠CFD的平分線上．即 FA是∠CFD的平分線；

（3）如圖2

∵ ∠BAC = 90°，AB =AC，∴ ∠ACB=∠ABC =45°，∵ ∠BCE=15°，∴∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN，在Rt△ACN中，∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，∴AN=，CN=．∵ AB=AC=2，∴ BN=．在Rt△ACN中，∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，∴ NF=BN=，∴ CF=CN+NF=．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．含30度角的直角三角形．