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如圖,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.連接BD交AE于M,連接CE交AB于N,BD與CE交點為F,連接AF.

(1)如圖1,求證:BD⊥CE;

(2)如圖1,求證:FA是∠CFD的平分線;

(3)如圖2,當AC=2,∠BCE=15°時,求CF的長.

(1)證明見試題解析;(2)證明見試題解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)證明△CAE≌△BAD即可;

(2)作AG⊥CE于G,AK⊥BD于K,由△CAE ≌△BAD,可以得到∠BFN=∠NAC=90°,即可得到BD⊥CE;

(3)先求出∠ACN =30°,再由含30°角的直角三角形的性質可以求出CF的長.

試題解析:(1)如圖1

∵ ∠BAC =∠DAE=90°,∠BAE=∠BAE,∴ ∠CAE=∠BAD,在△CAE和△BAD中,

∴ △CAE≌△BAD.∴ ∠ACF=∠ABD,∵ ∠ANC=∠BNF,∴ ∠BFN=∠NAC=90°,∴ BD⊥CE;

(2)如圖1,

作AG⊥CE于G,AK⊥BD于K,由(1)知 △CAE ≌△BAD,∴ CE = BD,S△CAE =S△BAD .∴ AG = AK,∴ 點A在∠CFD的平分線上.即 FA是∠CFD的平分線;

(3)如圖2

∵ ∠BAC = 90°,AB =AC,∴ ∠ACB=∠ABC =45°,∵ ∠BCE=15°,∴∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN,在Rt△ACN中,∵ ∠NAC = 90°,AC=2,∠ACN = 30°,∴AN=,CN=.∵ AB=AC=2,∴ BN=.在Rt△ACN中,∵ ∠BFN = 90°,∠FBN = 30°,∴ NF=BN=,∴ CF=CN+NF=

考點:1.全等三角形的判定與性質;2.含30度角的直角三角形.

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