Question

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）如圖2，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，
①圖2中共有

6

  個“8字形”；
②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度數；（提醒：解決此問題你可以利用圖1的結論或用其他方法）
③猜想圖2中∠P與∠B+∠D的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的內角和定理表示出∠AEB與∠DEC，再根據對頂角相等可得∠AEB=∠DEC，然后整理即可得解；
（2）①根據“8字形”的結構特點，根據交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；
②根據（1）的關系式求出∠DCO-∠BAO=42°，再根據角平分線的定義求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；
③根據“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCD-∠OAB，再用∠B、∠P表示出∠BAM-∠PCM，然后根據角平分線的定義可得∠BAM-∠PCM=

1

2

（∠OCD-∠OAB），然后整理即可得證．

解答：解：（1）在△AEB中，∠AEB=180°-∠A-∠B，
在△DEC中，∠DEC=180°-∠D-∠C，
∵∠AEB=∠DEC（對頂角相等），
∴180°-∠A-∠B=180°-∠D-∠C，
∴∠A+∠B=∠D+∠C；

（2）①交點有點M、N各有1個，交點O有4個，
所以，“8字形”圖形共有6個；
故答案為：6；

②∵∠ABC=80°，∠ADC=38°，
∴∠OAB+80°=∠DOC+38°，
∴∠DCO-∠BAO=42°，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=

1

2

∠DAB，∠PCM=

1

2

∠OCD，
又∵∠DAM+∠P=∠PCD+∠ADC，
∴∠P=∠PCD+∠ADC-∠DAM=

1

2

（∠DCO-∠BAO）+∠ADC=

1

2

×42°+38°=59°；

③根據“8字形”數量關系，∠OAB+∠B=∠OCD+∠D，∠BAM+∠B=∠PCM+∠P，
所以，∠OCD-∠OAB=∠B-∠D，∠PCM-∠BAM=∠B-∠P，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠BAM=

1

2

∠OAB，∠PCM=

1

2

∠OCD，
∴

1

2

（∠B-∠D）=∠B-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．

點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，多邊形的內角和定理，對頂角相等的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．