Question

已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a＜1，以AB為一邊在圓O內作正△ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB=AB=a，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（ ）

A．
B．1
C．
D．a

Answer 1

【答案】分析：此題可通過證△EAC≌△OAB，得AE=OA，從而求出EA的長；
△EAC和△OAB中，已知的條件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；
四邊形ABDE內角于⊙O，則∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°-60°-∠D=120°-∠D；而∠ECA=180°-∠ACB-∠BCD=120°-∠BCD，上述兩個式子中，由BD=AB=BC，易證得∠D=∠BCD，則∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而兩個等腰三角形的頂角相等，且底邊AC=AB，易證得兩個三角形全等，由此得解．
解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四邊形EABD內接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故選B．
點評：此題考查了圓心角、弧、弦的關系，等邊三角形的性質，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，綜合性強，難度較大；能夠發現并證得△EAC≌△OAB是解答此題的關鍵．