Question

【題目】如圖，拋物線的對稱軸是直線，且與軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△BPC的面積最大？若存在，請求出△BPC的最大面積；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,0）；（2）當(dāng)=4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16．

【解析】

(1)由拋物線的對稱軸是直線x=3，解出a的值，即可求得拋物線解析式，在令其y值為0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標(biāo)；
(2)易求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將B(8，0)，C(0，4)代入y=kx+b，解出k和b的值，即得直線BC的解析式；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，利用面積公式得出關(guān)于x的二次函數(shù)，從而求得其最值．

(1)∵拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得，

∴ 拋物線的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，即，

解之得：， ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0)，

故答案為：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0)；

(2)當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)

設(shè)直線BC的解析式為，

將點(diǎn)B(8,0)和點(diǎn)C(0,4)的坐標(biāo)代入得：

，

解之得：，

∴直線BC的解析式為，

假設(shè)存在，

設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(，)，

過點(diǎn)P作PD∥軸，交直線BC于點(diǎn)D，交軸于點(diǎn)E，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，如圖所示，

PD=-()=

∴S△PBC=S△PDC+ S△PDB=

=

=

=

∵-1<0

∴當(dāng)=4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16．