Question

如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且EF∥AC，
（1）連接CE、DF，若CE⊥DF，求證：EF=AC．
（2）如圖2，在DA的延長線上取一點G，使AG=AD，EG與DF相交于點H．求證：AH=BC．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DCB=∠ADC=∠GAE=90°，∠BAC=∠BCA=45°
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵CE⊥DF，
∴∠DFC+∠FCE=90°，
∵∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠FCE=∠FDC．
在△DFC和△CEB中，
∵，
∴△DFC≌△CEB（ASA），
∴BE=FC．
∴BF=CF．
∵EF∥AC，∠BAC=∠BCA，
∴AE=FC．
∴AE=BE，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=AC．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DCB=∠ADC=∠GAE=90°，∠BAC=∠BCA=45°．
∵AG=AD，
∴AG=CD．
∵EF∥AC，∠BAC=∠BCA，
∴四邊形AEFC是等腰梯形，
∴AE=CF．
在△GAE和△DCF中
∵，
∴△GAE≌△DCF（SAS），
∴∠G=∠CDF．
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠G+∠ADF=90°，
∴∠DHG=180°-90°=90°．
∵AG=AD，
∴A是GD的中點，
∴HA=GD=DA，
∴AH=BC．
分析：（1）根據正方形的性質可以這么△DFC≌△CEB，可以得出BE=CF，又有BE=BF，就有BF=CF，也有AE=BE，就可以得出EF是三角形ABC的中位線，從而可以得出結論；
（2）由條件可以證明△GAE≌△ECF（SAS），得出∠G=∠CDF，從而證明△DGH是直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得出結論；
點評：本題考查了正方形的性質的運用，等腰梯形的判定及性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運用．