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如圖,AB為⊙O的直徑,BF切⊙O于點B,AF交⊙O于點D,點C在DF上,BC交⊙O于點E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于點G,連接AE.

(1)直接寫出AE與BC的位置關系;

(2)求證:△BCG∽△ACE;

(3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半徑長.


解:(1)如圖1,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB=90°.

∴AE⊥BC.

(2)如圖1,

∵BF與⊙O相切,

∴∠ABF=90°.

∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE.

∵∠BAF=2∠CBF.

∴∠BAF=2∠BAE.

∴∠BAE=∠CAE.

∴∠CBF=∠CAE.

∵CG⊥BF,AE⊥BC,

∴∠CGB=∠AEC=90°.

∵∠CBF=∠CAE,∠CGB=∠AEC,

∴△BCG∽△ACE.

(3)連接BD,如圖2所示.

∵∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠CBF,

∴∠DBE=∠CBF.

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°.

∴BD⊥AF.

∵∠DBC=∠CBF,BD⊥AF,CG⊥BF,

∴CD=CG.

∵∠F=60°,GF=1,∠CGF=90°,

∴tan∠F==CG=tan60°=

∵CG=,

∴CD=

∵∠AFB=60°,∠ABF=90°,

∴∠BAF=30°.

∵∠ADB=90°,∠BAF=30°,

∴AB=2BD.

∵∠BAE=∠CAE,∠AEB=∠AEC,

∴∠ABE=∠ACE.

∴AB=AC.

設⊙O的半徑為r,則AC=AB=2r,BD=r.

∵∠ADB=90°,

∴AD=r.

∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=(2﹣)r=

∴r=2+3.

∴⊙O的半徑長為2+3.


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