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如圖,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4.以點C為旋轉中心把△ABC旋轉到△A′B′C,點B在邊A′B′上,邊A′C與邊AB相交于點D.求△ABC與△A′B′C重疊部分的面積.

【答案】分析:由∠ACB=90°,∠A=30°得到∠ABC=60°,根據旋轉的性質得BC=B′C=4,∠B′=∠ABC=60°,則可判斷△B′BC為等邊三角形,得到∠BCB′=60°,于是有∠BCD=30°,∠BDC=90°,根據含30°的直角三角形三邊的關系可得BD=BC=2,CD=BD=2,然后根據三角形的面積公式即可計算出S△BCD
解答:解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵△ABC繞點C旋轉到△A′B′C,且點B在邊A′B′上,
∴BC=B′C=4,∠B′=∠ABC=60°,
∴△B′BC為等邊三角形,
∴∠BCB′=60°,
∵∠A′CB′=90°,
∴∠BCD=30°,
∴∠BDC=90°,
∴BD=BC=2,CD=BD=2
∴S△BCD=BD•CD=×2×2=2
即△ABC與△A′B′C重疊部分的面積為2
點評:本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等,即對應線段相等,對應角相等;對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的判定與性質以及含30°的直角三角形三邊的關系.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•莆田質檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設AD=x,CF=y.求y與x之間函數解析式,并寫出函數的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
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,則cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發,沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
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cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設點P的運動時間為t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式.

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同步練習冊答案
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