Question

已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長(zhǎng)是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  3

  2

• D、1

Answer 1

分析：設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G，由于EF∥AB，且D是BC中點(diǎn)，易得DG是△ABC的中位線，即DG=1；
易知△CDG是等腰三角形，可過C作AB的垂線，交EF于M，交AB于N；然后證DE=FG，根據(jù)相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的長(zhǎng)易知，DF=1+DE，由此可得到關(guān)于DE的方程，即可求得DE的長(zhǎng)．

解答：解：如圖．過C作CN⊥AB于N，交EF于M，則CM⊥EF．
根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點(diǎn)O．
∵EF∥AB，D是BC的中點(diǎn)，
∴DG是△ABC的中位線，即DG=

1

2

AB=1；
易知△CGD是等邊三角形，而CM⊥DG，則DM=MG；
由于OM⊥EF，由垂徑定理得：EM=MF，故DE=GF．
∵弦BC、EF相交于點(diǎn)D，
∴BD•DC=DE•DF，即DE×（DE+1）=1；
解得DE=

5 -1

2

（負(fù)值舍去）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、三角形中位線定理、相交弦定理等知識(shí)，能夠證得DE、GF的數(shù)量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．