【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC的中點，連接DE.
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝3，求AD的長．
【答案】（1）詳見解析；（2）9.
【解析】
試題（1）如圖，作輔助線；根據題意結合圖形，證明∠ODE=90°，即可解決問題．
（2）首先求出BC=6，進而求出BD的值；運用直角三角形的性質求出AD的值，即可解決問題．
試題解析：（1）連接OD、BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°；
又∵點E為BC的中點，
∴BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；
∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，
又∵點D在⊙O上，
∴DE是圓⊙O的切線．
（2）解：由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠CBD=∠BAC=30°，
∴CD=3，BD=3
∴AB=6；
由勾股定理得：AD=9．
高中必刷題系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C，D兩點．點P是x軸上的一個動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點Q（Q與B不重合），使△CDQ的面積等于△BCD的面積？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，交⊙O于A、B兩點，與直徑CT交于點D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________．
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【題目】（本小題滿分9分）如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結果保留
）．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜邊經過點B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，則△BOD與△AOE的面積之差為（ ）
A.2B.3C.4D.5
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【題目】一項工程，甲，乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲，乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．
（1）甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？
（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？
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【題目】一條船上午
點在
處望見西南方向有一座燈塔
（如圖），此時測得船和燈塔相距
海里，船以每小時
海里的速度向南偏西
的方向航行到
處，這時望見燈塔在船的正北方向．（參考數據：
，
）．
求幾點鐘船到達處；
求船到達處時與燈塔之間的距離．
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