Question

20．如圖，在?ABCD中，AC⊥CD．
（1）延長DC到E，使CE=CD，連接BE，求證：四邊形ABEC是矩形；
（2）若點F，G分別是BC，AD的中點，連接AF，CG，試判斷四邊形AFCG是什么特殊的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得出AB∥CD，AB=CD，求出CE∥AB，CE=AB，根據平行四邊形的判定得出四邊形ABEC是平行四邊形，根據矩形的判定得出即可．
（2）根據平行四邊形的性質得出AD=CB，AD∥CB，求出AG=CF，根據平行四邊形的判定得出四邊形AFCG是平行四邊形，求出AG=CG，根據菱形的判定得出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CD=CE，
∴CE∥AB，CE=AB，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∴四邊形ABEC是矩形；

（2）四邊形AFCG是菱形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∵點F、G分別是BC、AD的中點，
∴AG=DG=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=CF，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵∠ACD=90°，G為AD的中點，
∴AG=CG，
∴四邊形AFCG是菱形．

點評 本題考查了直角三角形的性質，矩形的判定，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定的應用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．