Question

在邊長為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連結DE.

1.當DE=10時，求證：DE與圓O相切；

2.求DE的最長距離和最短距離；

3.如圖②，建立平面直角坐標系，當DE =10時，試求直線DE的解析式.

 

Answer 1

 

1.證明：連結，由題意得，------------1分

，，為公共邊

∴ 

∴-------------------2分

（利用勾股定理逆定理相應給分）

∴

∴與圓相切.-------------------3分

2.當點運動到與點重合的位置時，

為正方形的對角線，所以此時最長，有：

-----------------4分

當點運動到線段與半圓的交點處時，最短.

-----------------5分

3.當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；

當點E與點A不重合時，過點E作GH ⊥軸，分別交，軸于點，，連結.

則四邊形是矩形，且為圓的切線

∴=90°

∴-----------------------9分

又∵

∴∽

∴----------------------10分

設，則有：，

得：，-----------------------11分

解得：，  即：----------------12分

又直線DE過點D(10,10),設直線解析式為，則有：，

解得：，即：

∴當時，直線的解析式為或-----------------------14分

 

以下兩種解法涉及高中知識，僅供參考：

另解2:

（1）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；

（2）當點E與點A不重合時，，

設直線且經過點（10，10），代入求得

所以直線DE的解析式為

 

另解3:

依題意得:點O的坐標為(0,5),設直線DE的解析式為

由點到直線的距離公式得: ,即    ①

直線DE過點D(10,10),得    ②

由①②解得：，解得

所以直線DE的解析式為

 解析:略