Question

18．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4$\sqrt{3}$，則S_陰影=$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 根據垂徑定理求得CE=ED=2$\sqrt{3}$，然后由圓周角定理知∠DOE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長度，最后將相關線段的長度代入S_陰影=S_扇形ODB-S_△DOE+S_△BEC．

解答 解：如圖，假設線段CD、AB交于點E，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2$\sqrt{3}$，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，OD=2OE=4，
∴S_陰影=S_扇形ODB-S_△DOE+S_△BEC=$\frac{60π×O{D}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$OE×DE+$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案為$\frac{8π}{3}$．

點評 此題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，解題的關鍵是學會利用分割法求陰影部分面積，用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．