Question

如圖，將Rt△BCO置于平面直角坐標(biāo)系xoy中，斜邊OB在y軸的正半軸上，過點(diǎn)B作BA∥OC交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，tan∠BOC=0.5．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在線段OB上，OP與OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求線段OP的長(zhǎng)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出直線PD的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求B點(diǎn)坐標(biāo)需要知道OB的長(zhǎng)，在直角三角形BOC中，過C作CH⊥OB，則CH=8，有tan∠BOC=0.5，所以可求出OC的值，進(jìn)而求出OB的長(zhǎng)，問題得解；
（2）把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程x²-（m+10）x+2m²=0，可求出m的值，再解方程進(jìn)而求出線段OP的長(zhǎng)，問題得解；
（3）由圖形可知  D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10，0）．設(shè)過直線PD的解析式為y=kx+b，解得k，b的值即可．所以存在x軸上點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．
解答：解：（1）過C作CH⊥OB，
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，
∴OH=8．
∵tan∠BOC=0.5，
∴=．
∴CH=4．
∴CO==4．
在Rt△BCO中，tan∠BOC=0.5，
∴BC=2．
∴OB=10．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10）．

（2）∵OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴10²-（m+10）×10+2m²=0．
解得：m₁=0（舍），m₂=5，
當(dāng)m=5時(shí)，方程變?yōu)閤²-15x+50=0．
解得：x₁=5，x₂=10．
∴線段OP的長(zhǎng)為5．

（3）答：存在x軸上點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．

直線PD的解析式為：y=x+5或y=2x+5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形（直角三角形）的問題：從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題．