Question

如圖，將Rt△BCO置于平面直角坐標系xoy中，斜邊OB在y軸的正半軸上，過點B作BA∥OC交x軸于點A，點C的縱坐標為8，tan∠BOC=0.5．
（1）求B點坐標；
（2）點P在線段OB上，OP與OB的長分別是關于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的兩個實數根，求線段OP的長；
（3）在x軸上是否存在點D，使以點A、B、P、D為頂點的四邊形為梯形？若存在，請直接寫出直線PD的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求B點坐標需要知道OB的長，在直角三角形BOC中，過C作CH⊥OB，則CH=8，有tan∠BOC=0.5，所以可求出OC的值，進而求出OB的長，問題得解；
（2）把B點的坐標代入方程x²-（m+10）x+2m²=0，可求出m的值，再解方程進而求出線段OP的長，問題得解；
（3）由圖形可知  D點的坐標為（-10，0）．設過直線PD的解析式為y=kx+b，解得k，b的值即可．所以存在x軸上點D，使以點A、B、P、D為頂點的四邊形為梯形．

解答：解：（1）過C作CH⊥OB，
∵點C的縱坐標為8，
∴OH=8．
∵tan∠BOC=0.5，
∴

CH

OH

=

1

2

．
∴CH=4．
∴CO=

4 2+8 2

=4

5

．
在Rt△BCO中，tan∠BOC=0.5，
∴BC=2

5

．
∴OB=10．
∴B點坐標為（0，10）．

（2）∵OB的長是關于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的一個實數根，
∴10²-（m+10）×10+2m²=0．
解得：m₁=0（舍），m₂=5，
當m=5時，方程變為x²-15x+50=0．
解得：x₁=5，x₂=10．
∴線段OP的長為5．

（3）答：存在x軸上點D，使以點A、B、P、D為頂點的四邊形為梯形．

直線PD的解析式為：y=

1

2

x+5或y=2x+5．

點評：本題考查了一次函數與幾何圖形（直角三角形）的問題：從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題．