Question

如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，DB=BC，點E是CD的中點，點F是AB的中點．
（1）求證：EF=AB；
（2）過點A作AG∥EF，交BE的延長線于點G，求證：△ABE≌△AGE．

Answer 1

【答案】分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半從而得到EF=AB，根據已知利用SAS來判定△ABE≌△AGE．
解答：證明：（1）連接BE，（1分）
∵DB=BC，點E是CD的中點，
∴BE⊥CD．（2分）
∵點F是Rt△ABE中斜邊上的中點，
∴EF=；（3分）

（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位線，
∴BE=EG．（3分）
在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE；（3分）

[方法二]由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE．（1分）
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG．（1分）
∴∠EAF=∠EAG．（1分）
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．（3分）
點評：此題主要考查學生對直角三角形的性質及全等三角形的判定方法的掌握情況．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．