Question

【題目】如圖1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，過點B作BC⊥AE于點C，在BC上截取CD=CE，連接AD、DE并延長AD交BE于點P；
（1）求證：AD=BE；
（2）試說明AD平分∠BAE；
（3）如圖2，將△CDE繞著點C旋轉一定的角度，那么AD與BE的位置關系是否發生變化，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC⊥AE，∠BAE=45°，

∴∠CBA=∠CAB，

∴BC=CA，

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD，

∴AD=BE．

（2）解：∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BDP=∠ADC，

∴∠BPD=∠DCA=90°，

∵AB=AE，

∴AD平分∠BAE．

（3）解：AD⊥BE不發生變化．

如圖2，

∵△BCE≌△ACD，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠BFP=∠ACF，

∴∠BPF=∠ACF=90°，

∴AD⊥BE．

【解析】（1）利用SAS證明△BCE≌△ACD，根據全等三角形的對應邊相等得到AD=BE．（2）根據△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三線合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不發生變化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由對頂角相等得到∠BFP=∠ACF，根據三角形內角和為180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．