Question

已知關于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根．
（2）若1是該方程的一個根．求m的值并求出此時方程的另一個根．

Answer 1

（1）證明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=（m+2）²-4×1×（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵無論m取何值，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴方程x²+（m+2）x+2m-1=0有兩個不相等的實數根；

（2）解：把x=1代入原方程得，1+m+2+2m-1=0，
∴m=-，
∴原方程化為程x²+x-=0，
解得：x₁=1，x₂=-，即另一個根為-
分析：（1）若方程有兩個不相等的實數根，則應有△=b²-4ac＞0，故計算方程的根的判別式即可證明方程根的情況；
（2）直接代入x=1，求得m的值后，解方程即可求得另一個根．
點評：本題是對根的判別式與解一元二次方程的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0方程沒有實數根．