Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+x+4與x軸相交于點A、B與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M，P是拋物線在x軸下方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）．分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點MD、ME．

（1）寫出點A，B的坐標，　 　并證明△MDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點的坐標；若不能，說明理由；

（3）若將“P是拋物線在x軸下方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸上方的一個動點”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能求此時點P的坐標（直接寫出結果）；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）　A（﹣5，0），B（﹣1，0）；證明見解析；（2）能；（3）（﹣，）．

【解析】

（1）在拋物線解析式中，令y＝0，解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標；如圖1所示，延長EM交AD于點F，證明△AMF≌△BME，得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點，從而得到MD＝ME，問題得證；

（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M．如答圖2所示，設直線PC與對稱軸交于點N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN＝AM，從而求得點N坐標為（﹣3，﹣2）；其次利用點N、點C坐標，求出直線PC的解析式；最后聯立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標．

（3）當點P是拋物線在x軸上方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同．

解：（1）∵拋物線y＝x2+x+4與x軸相交于點A、B兩點，

∴令y＝0，，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）．

故答案為：A（﹣5，0），B（﹣1，0）．

如答圖1所示，延長EM與AD交于點F．

∵AD⊥PC，BE⊥PC，

∴AD∥BE，

∴∠MAF＝∠MBE．

在△AMF與△BME中，

，

∴△AMF≌△BME（ASA），

∴ME＝MF，即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點，

∴MD＝ME，

即△MDE是等腰三角形．

（2）答：能．

拋物線解析式為：＝，

∴對稱軸是直線x＝﹣3，M（﹣3，0）；

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4）．

△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：

①若DE⊥EM，

由DE⊥BE，可知點E、M、B在一條直線上，

而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上，

由DE⊥BE，可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，

不符合題意，故此種情況不存在；

②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在；

③若EM⊥DM，如答圖2所示：

設直線PC與對稱軸交于點N，

∵EM⊥DM，MN⊥AM，

∴∠EMN＝∠DMA．

在△ADM與△NEM中，

∴△ADM≌△NEM（ASA），

∴MN＝MA．

∵M（﹣3，0），MN＝MA＝2，

∴N（﹣3，﹣2）．

設直線PC解析式為y＝kx+b，

∵點N（﹣3，﹣2），C（0，4）在直線上，

∴，解得k＝2，b＝4，

∴y＝2x+4．

將y＝2x+4代入拋物線解析式得：，

解得：x＝0或，

當x＝0時，交點為點C；

當時，y＝2x+4＝﹣3．

∴P（，﹣3）．

綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（，3）．

（3）答：能．

與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M．

∵MD⊥ME，MA⊥MN，

∴∠DMN＝∠EMB．

在△DMN與△EMB中，

，

∴△DMN≌△EMB（ASA），

∴MN＝MB．

∴N（﹣3，2）．

設直線PC解析式為y＝kx+b，

∵點N（﹣3，2），C（0，4）在直線上，

∴，解得k＝，b＝﹣4，

∴y＝x+4．

將y＝x+4代入拋物線解析式得：x+4＝x2+x+4，

解得：x＝0或x＝﹣，

當x＝0時，交點為點C；當x＝﹣時，y＝x+4＝．

∴P（﹣，）．

綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（﹣，）．