Question

【題目】如圖，Rt△OAB的直角邊OA在x軸上，頂點B的坐標為（6，8），直線CD交AB于點D（6，3），交x軸于點C（12，0）．

（1）求直線CD的函數表達式；

（2）動點P在x軸上從點（﹣10，0）出發，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，過點P作直線l垂直于x軸，設運動時間為t．

①點P在運動過程中，是否存在某個位置，使得∠PDA=∠B？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②請探索當t為何值時，在直線l上存在點M，在直線CD上存在點Q，使得以OB為一邊，O，B，M，Q為頂點的四邊形為菱形，并求出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）直線CD的解析式為y=﹣x+6；（2）①滿足條件的點P坐標為（，0）或（，0）．②滿足條件的t的值為或．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）①如圖1中，作DP∥OB，則∠PDA=∠B．利用平行線分線段成比例定理，計算即可，再根據對稱性求出P′；

②分兩種情形分別求解即可解決問題：如圖2中，當OP=OB=10時，作PQ∥OB交CD于Q．如圖3中，當OQ=OB時，設Q（m，﹣m+6），構建方程求出點Q坐標即可解決問題；

（1）設直線CD的解析式為y=kx+b，則有

，

解得，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+6．

（2）①如圖1中，作DP∥OB，則∠PDA=∠B．

∵DP∥OB，

∴，

∴，

∴，

∴OP=6﹣，

∴P（，0），

根據對稱性可知，當AP=AP′時，P′（，0），

∴滿足條件的點P坐標為（，0）或（，0）．

②如圖2中，當OP=OB=10時，作PQ∥OB交CD于Q．

∵直線OB的解析式為y=x，

∴直線PQ的解析式為y=x+，

由，

解得，

∴Q（﹣4，8），

∴PQ==10，

∴PQ=OB．

∵PQ∥OB，

∴四邊形OBQP是平行四邊形．

∵OB=OP，

∴四邊形OBQP是菱形，此時點M與的Q重合，滿足條件，t=0．

如圖3中，當OQ=OB時，設Q（m，﹣m+6），

則有m2+（﹣m+6）2=102，解得m=，

∴點Q 的橫坐標為或，

設點M的橫坐標為a，則有：或，

∴a=或，

∴滿足條件的t的值為或．