Question

如圖1，若AB∥CD，則有∠B+∠D=∠E．
（1）將點E移至圖2的位置時，則∠B、∠D，∠E有什么關系？請證明你的結論．
（2）在圖3中，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D之間有什么關系？請證明你的結論．
（3）在圖4中，若AB∥CD，又得到什么結論？（直接寫出你的結論）．

Answer 1

解：（1）∠B+∠D+∠E=360°．理由如下：
過點E作EF∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BED+∠D=360°，
即∠B+∠D+∠E=360°；

（2）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．理由如下：
過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，
∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，
即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．

（3）∠E₁+∠E₂+…+∠E_n=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F_n+∠D．理由如下：
由圖1與圖3可得：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，
∴∠E₁+∠E₂+…+∠E_n=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F_n+∠D．
分析：（1）過點E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠B+∠BED+∠D=360°；
（2）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，由AB∥CD，可得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，然后根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；
（3）由圖1與圖2可得規律：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等，即可得∠E₁+∠E₂+…+∠E_n=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F_n+∠D．
點評：此題考查了平行線的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意掌握輔助線的作法，注意發現規律：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等是解此題的關鍵．