Question

平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．

（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，求證：∠BPD=∠B-∠D；
（2）將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，說明理由：若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？不必說明理由；
（3）在圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（4）在圖4中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°，則n=

6

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)平行線性質(zhì)得∠B=∠BOD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOD=∠BPD+∠D，則∠BPD=∠B-∠D；
（2）作PQ∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得AB∥PQ∥CD，則∠1=∠B，∠2=∠D，所以∠BPD=∠B+∠D；
（3）連結(jié)QP并延長到E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，然后把兩式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（4）連結(jié)AG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，則可把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G化為五邊形ACDEG的內(nèi)角和，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求解．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
而∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D，
即∠BPD=∠B-∠D；
（2）（1）中的結(jié)論不成立，∠BPD=∠B+∠D．
作PQ∥AB，如圖2，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．理由如下：
連結(jié)QP并延長到E，如圖3，
∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，
∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（4）連結(jié)AG，如圖4，
∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=（5-2）×180°=6×90°，
∴n=6．
故答案為6．

點評：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．也考查了三角形外角性質(zhì)和多邊形內(nèi)角定理．