Question

在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD，直線l與線段BA、BD、BC分別相交于點(diǎn)E、P、F，且∠BPF=60°。

（1）如圖1，寫(xiě)出圖中所有與△BDC相似的三角形，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）若直線向右平移，與線段BA、BD、BC或其延長(zhǎng)線分別相交于E、P、F，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一個(gè)與圖1位置不盡相同的圖形（其它條件不變），此時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)（不證明），若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）探究：如圖1，當(dāng)BD滿(mǎn)足什么條件時(shí)（其它條件不變），△BPE的面積是△BPF的面積的2倍？請(qǐng)寫(xiě)出探究結(jié)果，并說(shuō)明理由。（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）

Answer 1

解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB；
以△BDC∽△BFP以為例，
證明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，
又∵∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP；
（2）圖“略”；
結(jié)論均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB；
（3）BD平分∠ABC時(shí)，△BPE的面積是△BPF的面積的2倍
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°，
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°，
∴PF=PB
又∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB，
∴PF=PE，
∴△BPE的面積是△BPF的面積的2倍。