Question

（2005•甘肅）如圖，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）在圖（a）中，能否在AB上確定一點E，使得AC²=AE•AB，為什么？
（2）在圖（b）中，在條件（1）的結淪下延長EC到P，連接PB，如果PB=PE，試判斷PB和⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）使AC²=AE•AB成立，則應有△AEC∽△ACB，則應有∠B=∠ACE，則應有∠B對的弧與∠ACE對的弧相等，即點A是CAD的中點；
（2）過點B作直徑BF，連接CF，根據圓周角定理及已知可得到∠PBCF=90°，OB是圓O的半徑，從而得到PB是圓O的切線．
解答：解：（1）在優弧AB上截取弧AD=弧AC，則有∠B=∠ACD，
∵A=∠A，
∴△AEC∽△ACB．
∴AC：AB=AE：AC．
即AC²=AE•AB．

（2）如圖b，過點B作直徑BF，連接CF，
∵PB=PE，
∴∠PEB=∠PBE．
∵∠PEB=∠A+∠ACD，∠PBE=∠PBC+∠CBE，∠ACD=∠CBA=∠CBE，
∴∠A=∠PBC．
∵BF是直徑，
∴∠BCF=-90°．
∵∠A=∠F，∠F+∠CBF=90°，
∴∠PBC+∠CBF=90°．
∵OB是圓O的半徑，
∴PB是圓O的切線．
點評：本題綜合利用了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，三角形的外角與內角的關系，直徑對的圓周角是直角，同角的余角相等，切線的判定求解．