Question

已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，點P從點B出發，沿射線BC方向以每秒2cm的速度移動，同時，點Q從點D出發，沿線段DA以每秒1cm的速度向點A方向移動（當點Q到達點A時，點P與點Q同時停止移動），PQ交BD于點E．假設點P移動的時間為x（秒），△BPE的面積為y（cm²）．
（1）求證：在點P、Q的移動過程中，線段BE的長度保持不變；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果CE=CP，求x的值．

Answer 1

（1）證明：∵DQ∥BP，
∴

BE

DE

=

BP

DQ

．（1分）
∵BP=2x，DQ=x，
∴

BE

DE

=2．
∴BE=

2

3

BD．（1分）
∵∠A=90°，AB=6，AD=9，
∴BD=3

13

．（1分）
∴BE=2

13

，
即在點P和點Q的移動過程中，線段BE的長度保持不變．（1分）

（2）作EH⊥BC，垂足為點H，得EH∥CD．
∴

EH

DC

=

BE

BD

=

2

3

．（1分）
∴EH=4．（1分）
∴y=

1

2

•2x•4，
即所求的函數解析式為y=4x．（1分）
定義域為0＜x≤9．（1分）

（3）∵EH∥CD，
∴

CH

BC

=

DE

BD

=

1

3

．
∴CH=3．（1分）
∴CE=5．（1分）
（i）當點P在線段BC上時，9-2x=5．解得x=2．（1分）
（ii）當點P在線段BC的延長線上時，2x-9=5．解得x=7．（1分）