Question

如圖等邊△ABC，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．
（1）寫出圖中全等三角形；
（2）BD²=AD•DF嗎？請說明理由；
（3）△AEF與△BEA相似嗎？說說你的理由．

Answer 1

解：（1）△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，
∵BD=CE，
∴AE=CD，
∴△ACD≌△BAE（SAS），△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）BD²=AD•DF；
證明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，
又∵∠ADB=∠BDF，
∴△BDF∽△ADB；
∴，即BD²=AD•DF；

（3）△AEF∽△ABE；
證明：由△ACD≌△BAE，得∠DAC=∠ABE；
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA．
分析：（1）由等邊三角形ABC可得出的條件是：AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB；由BD=CE得出的條件是CD=AE；可根據SAS來得出的全等三角形是：△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；
（2）可通過證△BDF∽△ADB來得出BD²=AD•DF的結論；
（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根據兩個對應角相等的三角形相似證得．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，以及全等三角形、相似三角形的判定和性質．