Question

如圖，點A的坐標是（4，0），點C的坐標是（0，2），點B是直線x=4上的一個動點，并且在第一象限內，AC、BO交于點M，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點B、C、M．
（1）求直線AC的函數表達式；
（2）如果AB＜OC，求拋物線頂點的橫坐標的范圍；
（3）你認為點M在拋物線y=ax²+bx+c上位置有何特殊之處？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標（4，0），點C的坐標（0，2），代入解析式即可求出直線AC的函數表達式；
（2）設B點的坐標為（4，k），M的坐標為（m，n），由AB∥OC，得出用含k的式子表示m，n，得出M的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式，再根據AB＜OC，即得出0＜k＜2，進而得出拋物線頂點的橫坐標的范圍；
（3）根據點M的坐標和拋物線的解析式，分三種情況：m＞6，m=6，m＜6得出點M所在的直線和x軸的位置關系以及與拋物線y=ax²+bx+c的交點個數．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點A的坐標是（4，0），點C的坐標是（0，2），
∴

4k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線AC的函數表達式為：y=-

1

2

x+2；

（2）設B點的坐標為（4，k），M的坐標為（m，n），
∵AB∥OC，
∴

n

2

=

4-m

4

，

n

k

=

m

4

，
∴M的坐標為（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點B、C、M．
∴

c=2 16a+4b+c =k ( 8 k+2 )2a+ 8 k+2 b+c= 2k k+2

，
解得：

a= k+2 16 b=-1 c=2

，
∵AB＜OC，點B是直線x=4上的一個動點，并且在第一象限內，
即0＜k＜2，
∵拋物線的頂點的橫坐標x=-

b

2a

=

8

K+2

，
∴2＜x＜4，
∴拋物線頂點的橫坐標的范圍為：2＜x＜4；

（3）∵M的坐標為（

8

k+2

，

2k

k+2

），
∵M（m，n），
∴M（

2m

m+2

，

2m

m+2

），
∴拋物線y=ax²+bx+c的解析式為：y=

k+2

16

x²-x+2，
∴

2m

m+2

=[

1

4

（m+2）x²]+[

1

4

（m+2）x]+2，
[（m+2）x]²+x（m+2）²+16=0，
△=（m+2）⁴-64（m+2）²
當m＞6時，m²+4m-60＞0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＞0
點M并且和x軸平行的直線和拋物線有2個公共點
當m=6時，m²+4m-60=0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]=0
點M并且和x軸平行的直線和拋物線有1公共點
當m＜6時，m²+4m-60＜0，
∴△=[（m+2）²][（m+2）²-64]=[（m+2）²][m²+4m-60]＜0
點M并且和x軸平行的直線和拋物線沒有公共點

點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了直線的表達式、拋物線的表達式以及直線和x軸的交點問題，當判別式大于0，拋物線和x軸有兩個交點；當判別式小于0，拋物線和x軸有一個交點；當判別式等于0，拋物線和x軸無交點．