Question

已知△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，以O為圓心的⊙O與AB相切于點C，⊙O與OA、OB分別交于點D、E．
（1）如圖（1），若AB=6，求⊙O的半徑長；
（2）如圖（2），延長AO交⊙O于點F，求證：直線BF與⊙O相切．

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵⊙O與AB相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，又AB=6，∠AOB=120°，
∴AC=AB=3，∠AOC=∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OA=2OC，
根據勾股定理得：OA²=OC²+AC²，即4OC²=OC²+9，
解得：OC=，
則⊙O的半徑為；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOF=∠BOC，
在△BOF和△BOC中，
∵，
∴△BOF≌△BOC（SAS），
∵∠OCB=90°，
∴∠OFB=∠OCB=90°，
∴BF與圓O相切．
分析：（1）連接OC，由AB與圓O相切，利用切線的性質得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三線合一得到C為AB的中點，OC為頂角平分線，可得出AC的長及∠AOC的度數，在直角三角形AOC中，∠A=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OA=2OC，利用勾股定理列出關于OC的方程，求出方程的解即可得到OC的長，即為半徑的長；
（2）由∠AOB=120°，利用鄰補角定義求出∠BOF=60°，可得出∠BOC=∠BOF，再由半徑OC=OF，公共邊OB，利用SAS可得出三角形BOC與三角形BOF全等，再由∠OCB=90°，利用全等三角形的對應角相等可得出∠BFO=90°，即BF垂直于AF，可得出BF為圓O的切線，得證．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一性質，以及勾股定理，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．