Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）點C是不是也在（2）中的拋物線上，若在請證明，若不在請說明理由；
（4）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得？若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理求出BO即可；
（2）把A、B、D的坐標代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）求出C的坐標，把C的坐標代入拋物線的解析式看左、右兩邊是否相等即可；
（4）過點D作DE⊥X軸于點E，根據勾股定理求出DE，求出BC，根據梯形面積公式求出梯形的面積，求出△PBC的面積，設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，求出P的縱坐標，代入拋物線求出P的橫坐標即可．
解答：解：（1）在Rt△ABO中，AB=2，AO=6，
∴BO==2，
∵點B在x軸的負半軸上，
∴B（-2，0），
答：點B的坐標是（-2，0）．

（2）設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
代入得：
解這個方程組得：，
∴y=-x²+2x+6．
答：經過A、B、D三點的拋物線的解析式是y=-x²+2x+6．

（3）由題意，得點C的坐標為（6，0），
∵=0，
∴點C在拋物線y=-x²+2x+6上．

（4）∵A（0，6），D（4，6），
∴AD=4，
過點D作DE⊥X軸于點E，則四邊形DEOA是矩形，有DE=OA=6，AD=OE=4，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=2，
由勾股定理得：CE===2，
∴OC=2+4=6，
∴C（6，0），
∵B（-2，0），
∴BC=8，
∴梯形ABCD的面積是×（4+8）×6=36，
∵，
∴S_△PBC=18，
設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，
∴×8×|y|=18，
∴y=±，
∴P的坐標是P₁（x，），P₂（x，-），
代入拋物線得：-x²+2x+6=-，
∴x₁=-3，x₂=7，
點P₁的坐標為（-3，-），（7，-），
同理可求得：點P₂的坐標為（2+，），（2-，）．
答：點P的坐標是（-3，-），（7，-），（2+，），（2-，）．
點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積，等腰梯形的性質，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．