Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是劣弧AC的中點，DE⊥AB于H，交⊙O于點E，交AC于點F．
（1）圖中有哪些必相等的線段？（要求：不要標注其它字母，找結論的過程中所作的輔助線不能出現在結論中，不必寫出推理過程．）
（2）若過C點作⊙O的切線PC交ED延長線于P點，（請補全圖形），求證：PF²=PD•PE；
（3）已知AH=1，BH=4，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）分別根據半徑相等，垂徑定理可知AO=BO，DH=EH；知道D是劣弧AC的中點，結合垂徑定理可知弧AC等于弧DE，從而可得DF=AF，AC=DE；
（2）連EC，AE，由（1）可知弧AD=弧AE，分別利用等弧所對的圓周角相等和弦切角等于它所夾的弧對的圓周角可得到∠PCA=∠PFC，從而可知PC=PF，利用切割線定理可知PC²=PD•PE，等量代換即可求解；
（3）先根據射影定理求得DH的長為2，結合前2問可設AF=x，則FH=2-x，利用Rt△AFH中AH²+FH²=AF²
，求得DF的長，再利用第2問的結論作為相等關系，即可求得PD的長，從而可求得PF，即PC的長．

解答：（1）解：AO=BO，DH=EH，DF=AF，AC=DE；

（2）證明：連EC，AE，
則∠PFC是△ECF的一個外角，于是∠PFC=∠ACE+∠FEC；
∵DH⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴A是DE中點，即弧AD=弧AE，
∴∠AED=∠ACE，
∴∠ACE+∠FEC=∠AED+∠DEC=∠AEC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCA=∠AEC．
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF．
∵PC是切線
∴PC²=PD•PE，
∴PF²=PD•PE；

（3）解：在⊙O中，AH•HB=DH•HE=DH²，
∴DH=

AH•HB

=

1×4

=2
設AF=x，則FH=2-x．
在Rt△AFH中，AH²+FH²=AF²
∴1+（2-x）²=x²，
∴x=

5

4

，即AF=

5

4

．
于是DF=

5

4

．
由（1）（2）知HE=HD=2，
(PD+

5

4

)2=PD•(PD+4)，
解得PD=

25

24

．
∴PF=PD+DF=

55

24

．
∴PC=PF=

55

24

．

點評：主要考查了圓中的有關定理：垂徑定理，切割線定理，弦切角定理等．本題的解題關鍵是會運用方程思想把線段之間存在的數量關系（定理所體現的數量關系）作為相等關系列方程求線段的長度．