Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE切⊙O于點D，交BC于點E．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：本題由已知DE是⊙O的切線，可聯想到常作的一條輔助線，即“見切點，連半徑，得垂直”，然后再把要證的垂直與已有的垂直進行聯系，即可得出證法．

解答：（1）證明：連接OD，（1分）
∵DE切⊙O于點D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，（2分）
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD∥BC，（3分）
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；（4分）

（2）解：連接BD，（5分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，（6分）
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）
∴

BC

DC

=

DC

CE

，
∴BC=

DC2

CE

=

42

3

=

16

3

，（9分）
又∵OD=

1

2

BC，
∴OD=

1

2

×

16

3

=

8

3

，
即⊙O的半徑為

8

3

．（10分）

點評：命題立意：此題主要考查圓的切線的性質、垂直的判定、圓周角的性質、三角形相似等知識．