Question

【題目】如圖，已知BD⊥AB于點B，AC⊥AB于點A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在線段AB上找一點E，使△BDE與△ACE相似，若這樣的點E有且只有兩個，則m的值是______

Answer 1

【答案】5或2

【解析】

當∠ACE＝∠BDE時，△ACE∽△BDE，得出，AE＝BE①，當ACE＝∠BED時，△ACE∽△BED，得出，即AE×BE＝AC×BD＝6②，由①②得出BE2＝6，解得BE＝3，AE＝2，得出m＝5；當AE＝2時，BE＝3，兩個三角形相似；當AE＝3時，BE＝2，兩個三角形全等，符合題目要求；設AE＝x，則BE＝m﹣x，得出x：3＝2：（m﹣x），整理得x2﹣mx+6＝0，方程有唯一解時，△＝m2﹣24＝0，解得m＝，當m＝時，AE：BE＝2：3時，兩個三角形相似；AE＝BE＝時，兩個三角形相似；同樣是兩個點可以滿足要求；即可得出答案．

解：∵BD⊥AB于點B，AC⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

當∠ACE＝∠BDE時，△ACE∽△BDE，

∴，

∴AE＝BE①，

當ACE＝∠BED時，△ACE∽△BED，

∴，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，

由①②得：BE2＝6，

解得：BE＝3，

∴AE＝2，

∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；

當AE＝2時，BE＝3，兩個三角形相似；

當AE＝3時，BE＝2，兩個三角形全等，符合題目要求；

設AE＝x，則BE＝m﹣x，

∴x：3＝2：（m﹣x），

整理得：x2﹣mx+6＝0，

方程有唯一解時，△＝m2﹣24＝0，

解得：m＝±（負值舍去），

∴m＝；

當m＝時，

AE：BE＝2：3時，兩個三角形相似；

AE＝BE＝時，兩個三角形相似；同樣是兩個點可以滿足要求；

綜上所述，△BDE與△ACE相似，若這樣的點E有且只有兩個，則m的值是5或；

故答案為：5或．