Question

已知，矩形OABC在平面直角坐標系內的位置如圖所示，點O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點B的坐標為（10，8）．
（1）直接寫出點C的坐標為：C（

 

，

 

）；
（2）已知直線AC與雙曲線y=

m

x

(m≠0)在第一象限內有一交點Q為（5，n）；
①求m及n的值；
②若動點P從A點出發，沿折線AO→OC的路徑以每秒2個單位長度的速度運動，到達C處停止．求△OPQ的面積S與點P的運動時間t（秒）的函數關系式，并求當t取何值時S=10．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對邊相等的性質直接寫出點C的坐標；
（2）①設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．將A（10，0）、C（0，8）兩點代入其中，即利用待定系數法求一次函數解析式；然后利用一次函數圖象上點的坐標特征，將點Q代入函數關系式求得n值；最后將Q點代入雙曲線的解析式，求得m值；
②分類討論：當0≤t≤5時，OP=10-2t；當5＜t≤9時，OP=2t-10．

解答：解：（1）C（0，8）…（3分）

（2）①設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），過A（10，0）、C（0，8）

10k+b=0 k•0+b=8

，
解得：

k=- 4 5 b=8

∴直線AC的解析式為y=-

4

5

x+8…（5分）
又∵Q（5，n）在直線AC上，
∴n=-

4

5

×5+8=4，…（6分）
又∵雙曲線y=

m

x

(m≠0)過Q（5，4），
∴m=5×4=20…（7分）
②當0≤t≤5時，OP=10-2t，…（8分）
過Q作QD⊥OA，垂足為D，如圖1
∵Q（5，4），∴QD=4，
∴S=

1

2

(10-2t)×4=20-4t，…（9分）
當S=10時，20-4t=10
解得t=2.5…（10分）
當5＜t≤9時，OP=2t-10，…（11分）
過Q作QE⊥OC，垂足為E，如圖2
∵Q（5，4），∴QE=5，
∴S=

1

2

(2t-10)×5=5t-25，…（12分）
當S=10時，5t-25=10
解得t=7
綜上，S=

20-4t，(0≤t≤5) 5t-25，(5＜t≤9)

，
當t=2.5秒或t=7秒時，S=10．…（13分）

點評：此題主要考查反比例函數綜合題．注意解（2）②時，要分類討論，以防漏解．