Question

已知：矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A（6，0），C（0，3），直線y=

3

4

x與BC邊交于D點．
（1）求D點的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx經過A、D兩點，求此拋物線的表達式；
（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P是對稱軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求出符合條件的點P．

Answer 1

分析：（1）已知直線y=

3

4

x與BC交于點D（x，3），把y=3代入等式可得點D的坐標；
（2）如圖拋物線y=ax²+bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，把已知坐標代入解析式得出a，b的值即可；
（3）證明Rt△P₁OM∽Rt△CDO以及Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO后推出CD=P₁P₂=4得出符合條件的坐標．

解答：解：（1）由題知，直線y=

3

4

x與BC交于點D（x，3）．（1分）
把y=3代入y=

3

4

x中得，x=4，
∴D（4，3）；（3分）

（2）拋物線y=ax²+bx經過D（4，3）、A（6，0）兩點，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分別代入y=ax²+bx中，（4分）
得

16a+4b=3 36a+6b=0

解之得

a=- 3 8 b= 9 4

（5分）
∴拋物線的解析式為y=-

3

8

x²+

9

4

x；（6分）

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P₁，符合條件．
∵CB∥OA∠P₁OM=∠CDO，
∴Rt△P₁OM∽Rt△CDO．
∵x=-

b

2a

=3，
∴該點坐標為P₁（3，0）．（11分）
過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點P₂，
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠P₂MO=∠DOC，
∴Rt△P₂MO∽Rt△DCO．
在Rt△P₂P₁O和Rt△DCO中
P₁O=CO=3，∠P₂=∠ODC，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO．
∴CD=P₁P₂=4，
∵點P₂位于第四象限，
∴P₂（3，-4）．（12分）
因此，符合條件的點有兩個，分別是P₁（3，0），P₂（3，-4）．（13分）

點評：此題考查函數性質與坐標關系，最后一問探究點的存在性問題，幾何圖形形式問題和直角三角形性質，綜合性比較強，難度較大．