Question

如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA、OB的長分別是1和3，將△AOB繞O點按逆時針方向旋轉90°，至△DOC的位置．
（1）求過C、B、A三點的二次函數的解析式；
（2）若（1）中拋物線的頂點是M，判定△MDC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，C、B、A三點的坐標分別為：C（-3，0）、B（0，3）、A（1，0）；
設二次函數的解析式為y=a（x-1）（x+3），依題意，有：
a（0-1）（0+3）=3，解得：a=-1
故過C、B、A三點的二次函數的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）△MDC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）知，拋物線的解析式：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，則M（-1，4）；
易知：C（-3，0）、D（0，1），則：
MC²=（-1+3）²+（4-0）²=20，MD²=（-1-0）²+（4-1）²=10，CD²=（-3-0）²+（0-1）²=10
則MC²=MD²+CD²，且MD=CD，
因此△MDC為等腰直角三角形．
分析：（1）△OCD是由△OBA旋轉所得，因此OB=OC、OA=OD，所以由OA、OB的長，即可得出A、B、C、D四點的坐標，利用待定系數法即可求出過C、B、A三點的二次函數的解析式．
（2）由（1）的二次函數解析式不難求出頂點M的坐標，在已知M、C、D三點坐標的情況下，由坐標系兩點間的距離公式可求出MD、CD、MC三邊的長，再由三邊長來判斷△MCD的形狀．
點評：此題考查的內容較為簡單，主要涉及旋轉圖形的性質、利用待定系數法確定二次函數的解析式以及等腰直角三角形的判定；（2）的解法較多，也可過M作y軸的垂線，通過構建全等三角形來解．