Question

（2005•山西）已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，過A點作⊙O₁的切線交⊙O₂于點E，連接EB并延長交⊙O₁于點C，直線CA交⊙O₂于點D．
（1）如圖，當點D與點A不重合時，試猜想線段EA=ED是否成立？證明你的結論；
（2）當點D與點A重合時，直線AC與⊙O₂有怎樣的位置關系？此時若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過證角相等來證邊相等．連接AB，那么ABED就是圓O₂的內接四邊形，根據內接四邊形的性質，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得證，我們發現∠EAD的對頂角正好是圓O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根據等角對等邊也就得出本題要求的結論了；
（2）DA重合時，CA與圓O₂只有一個交點，即相切．那么CA，AE分別是⊙O₁和⊙O₂的直徑（和切線垂直弦必過圓心），根據切割線定理AC₂=CB•CE，即可得出AC=4，即圓O₁的直徑是4．
解答：（1）解：EA=ED成立．
證明：連接AB，在EA延長線上取點F；
∵AE是⊙O₁的切線，切點為A，
∴∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE（對頂角），
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂內接四邊形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED；

（2）當點D與點A重合時，
直線CA與⊙O₂只有一個公共點，
所以，直線CA與⊙O₂相切，
直徑為4．
點評：本題主要考查了切線的性質，弦切角定理切割線定理等知識點的綜合應用．