Question

（2002•河南）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：根據已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，從而得到EM=FM；根據角之間的關系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．
解答：解：△MEF是等腰直角三角形．證明如下：
連接AM，
∵M是BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．
∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．
∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE∥AB，DF∥AC．
∵∠BAC=90°，
∴四邊形DFAE為矩形．
∴DF=AE．
∵DF⊥BF，∠B=45°．
∴∠BDF=∠B=45°．
∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，
∴AE=BF．
∵AM=BM
∴△AEM≌△BFM（SAS）．
∴EM=FM，∠AME=∠BMF．
∵∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．
點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定的理解及運用；得到AE=BF是正確解答本題的關鍵．