Question

任何一個單位分數

1

n

都可以寫成兩個單位分數的和：

1

n

= 

1

p

+

1

q

（n，p，q都是正整數），顯然，這里的p，q都大于n．如果設p=n+a，q=n+b，那么有

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

．
（1）探索上式中的正整數a，b與正整數n之間存在什么樣的關系（寫出推理過程）；
（2）寫出

1

6

等于兩個單位分數之和的所有可能情況．

Answer 1

分析：（1）把等式

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

去分母化簡即可得到關于正整數a，b與正整數n之間存在的關系；
（2）利用（1）的結果ab=n²，n=36，可找到a，b的所有值，再由已知條件可把

1

6

寫成兩個單位分數之和．

解答：解：（1）∵

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

，
∴（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
∴n²+nb+an+ab=n²+na+n²+nb，
∴ab=n²；

（2）由（1）知ab=n²，n=6，
∴ab=36，
∴a=1，2，3，4，6；
∴相對應的b=36，18，12，9，6，
∴

1

6

=

1

7

+

1

42

=

1

8

+

1

24

=

1

9

+

1

18

=

1

10

+

1

15

=

1

12

+

1

12

．

點評：本題考查學生通過觀察、歸納、抽象出數列的規律的能力，要求學生首先分析題意，找到規律，并進行推導得出答案．