Question

任何一個單位分數

1

n

都可以寫成兩個單位分數的和：

1

n

=

1

p

+

1

q

（n，p，q都是正整數）．顯然，這里的p，q都大于n．如果設p=n+a，q=n+b，那么有

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

．
（1）探索上式中的正整數a，b與正整數n之間存在什么樣的關系（寫出推理過程）；
（2）請利用（1）中的結論，分別寫出

1

2

，

1

3

等于兩個單位分數之和的所有可能情況；
（3）我國宋朝數學家楊輝早在1261年的著作--《詳解九章算法》十二卷里提出了如左下圖所示的“楊輝三角形”，請觀察楊輝三角形的特點，由單位分數能否能壘成類似的“單位分數三角形”？如果能，試在右下圖中寫第二、三、四行．

Answer 1

分析：（1）分式的兩邊都乘以n（n+a）（n+b），再整理可得ab=n²；
（2）當n=2時，可求a、b的所有可能數值，從而可求

1

2

分成兩個單位分數和的所有情況，同理可求

1

3

分成兩個分數和的所有情況；
（3）能，結合（2）中的計算，可知第二行有兩個分數，且都等于

1

2

，第三行有3個分數，第一個與第三個都等于

1

3

，第二個等于

1

6

，第四行依次是

1

4

，

1

12

，

1

12

，

1

4

，其它行也依此類推．

解答：解：（1）由

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

，
可得（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
化簡后有ab=n²，
（2）當n=2時，ab=2²=4，于是有a=1或2，b=4或2，
因此

1

2

=

1

3

+

1

6

=

1

4

+

1

4

，
當n=3時，ab=3²=9，于是有a=1或3，b=9或3，
因此

1

3

=

1

4

+

1

12

=

1

6

+

1

6

；
（3）

點評：本題考查了分式的混合運算．解題的關鍵是把分式化成整式計算．