Question

在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？
（3）當t=2秒時，四邊形OPQB的面積為多少個平方單位？

Answer 1

分析：（1）已知直線經過點A、B就可以利用待定系數法求出函數的解析式；
（2）以點A、P、Q為頂點的三角形△AOB相似，應分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．
（3）過點Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面積．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
將點A（0，6）、點B（8，0）代入得

6=b 0=8k+b

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
直線AB的解析式為：y=-

3

4

x+6．

（2）∵Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可得，AB=10，
又知AP=t，AQ=10-2t．
分兩種情況：
①當△APQ∽△AOB時，有：

AP

AQ

=

AO

AB

，
∴

t

10-2t

=

6

10

，解得t=

30

11

，
②當△AQP∽△AOB時，有：

AQ

AP

=

AO

AB

，
∵

10-2t

t

=

6

10

，解得t=

50

13

，
綜上所述，當t=

30

11

或

50

13

時，
以點A、P、Q為頂點的三角形△AOB相似．

（3）當t=2秒時，
AP=2，AQ=6，過點Q作QM⊥OA于M，
易得△AMQ∽△AOB，
∴

AQ

AB

=

QM

OB

，

6

10

=

QM

8

，
解得QM=4.8，
∴△APQ的面積為：

1

2

AP×QM=

1

2

×2×4.8=4.8（平方單位），
∴四邊形OPQB的面積為：S_△AOB-S_△APQ=24-4.8=19.2（平方單位）．

點評：本題主要考查待定系數法求函數的解析式，以及相似三角形的性質，相似三角形的對應邊的比相等．