Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，點P、Q同時從A點出發，分別做勻速運動，其中點P沿AB、BC向終點C運動，速度為每秒2個單位，點Q沿AD向終點D運動，速度為每秒1個單位，當這兩點中有一個點到達自己的終點時，另一個點也停止運動，設這兩個點從出發運動了t秒．
（1）動點P與Q哪一點先到達自己的終點？此時t為何值；
（2）當O＜t＜2時，寫出△PQA的面積S與時間t的函數關系式；
（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）∵當P到c點時，t=5（秒），
當Q到D點時，t=8（秒），
∴點P先到達終點，此時t為5秒；

（2）如圖，作BE⊥AD于點E，PF⊥AD于點F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=

3

t，
∴s=

3

2

t²（0＜t＜2）；

（3）當0＜t＜2時，以PO為直徑的圓與CD不可能相切．
當2≤t≤5時，設以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點K，
則有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位線，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=

13± 15

2

．
∵

13+ 15

2

＞5，不合題意舍去．
2＜

13- 15

2

＜5，
因此，當t=

13- 15

2

時，以PQ為直徑的圓與CD相切．