Question

去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水．經(jīng)實地勘查后，工程人員設(shè)計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）．兩村的坐標分別為A（2，3），B（12，7）．
（1）若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋多遠的地方可使所用輸水管道最短？
（2）水泵站建在距離大橋多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？

Answer 1

【答案】分析：（1）為了使所修水泵站的所用輸水管道最短，利用軸對稱的方法畫圖可求；
（2）所求點要滿足兩個條件，到張村和李村的距離相等，可以作連接兩村線段的垂直平分線，與x軸的交點即為所求．
解答：解：（1）作點B關(guān)于x軸的對稱點E，連接AE，則點E為（12，-7）
設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），則

解得，
當y=0時，x=5．
所以，水泵站建在距離大橋5千米的地方，可使所用輸水管道最短．

（2）作線段AB的垂直平分線GF，交AB于點F，交x軸于點G
設(shè)點G的坐標為（x，0）
在Rt△AGD中，AG²=AD²+DG²=3²+（x-2）²
在Rt△BCG中，BG²=BC²+GC²=7²+（12-x）²
∵AG=BG，
∴3²+（x-2）²=7²+（12-x）²
解得x=9．
所以，水泵站建在距離大橋9千米的地方，可使它到張村、李村的距離相等．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，線段的垂直平分線，軸對稱的作圖方法．關(guān)鍵是明確每條線上點的性質(zhì)，合理地選擇．