Question

（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2

3

，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定；
（2）根據F為AD的中點，可得FB=FC，根據AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，則EC=2x，利用（1）的結論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．

解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F為AD的中點，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；
設EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴

CE

CD

=

CD

FC

，即可得：6x²=12，
解得：x=

2

，
則CF=3

2

，
在Rt△CFD中，DF=

FC2-CD2

=

6

，
∴BC=2DF=2

6

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質：對應邊成比例．