Question

（2005•瀘州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度數；
（2）求證：AE=CE；
（3）求證：AC²=AE•AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是直徑，因此∠ACB應該是個直角．
（2）可根據等角對等邊來求證．由于BA垂直平分CG，那么弧AC=弧AG，又已知了AC=CF，即弧AC=弧CF，因此弧CF=弧AG，即∠ACG=∠FAC，也就得出了AE=CE．
（3）本題實際求的是△AEC和△AFC相似，已知了一個公共角，又由（2）中得出的弧AC=弧CF=弧AG，那么∠F=∠ACE，因此兩三角形就相似了．由此可得出所求的比例關系式．
解答：（1）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．

（2）證明：連接AG，∵AB為直徑，且AB⊥CG，
∴AC=AG，
又∵AC=CF，
∴AG=CF，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．

（3）證明：連接CF，
由（2）可知：AG=AC，
∴∠ACE=∠AFC
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，
∴，
∴AC²=AE•AF．
點評：本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．根據圓周角得出相關的角相等是本題的解題關鍵．