Question

已知：關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-m=0
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；
（2）設此方程的兩個實數根分別為a、b（其中a＞b），若y是關于m的函數，且y=3b-2a，請求出這個函數的解析式；
（3）請在直角坐標系內畫出（2）中所得函數的圖象；將此圖象在m軸上方的部分沿m軸翻折，在y軸左側的部分沿y軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，動點Q在雙曲線y=-

4

m

被新圖象截得的部分（含兩端點）上運動，求點Q的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若要證明方程有兩個不相等的實數根，只需證明△＞0．
（2）用m表示出方程的兩個實根，然后代入y=3b-2a中即可．
（3）先畫出y=m-3的圖象，然后根據所畫圖象畫出翻折后的圖象如圖示，則可以確定AD、BC的解析式，進而可以求出它們與雙曲線的交點，從而確定Q的橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，得△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）
=4m²-4m+1-4m²+4m=1＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數根．

（2）解方程x²-（2m-1）x+m²-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
∴a=m，b=m-1，
∴y=3b-2a=m-3．

（3）y=m-3在坐標系內圖象如圖所示，
設該圖象與m軸交于點A，與y軸交于點B，
則點A坐標為（3，0），點B坐標為（0，-3），
翻折后圖象如圖所示，設翻折后圖象與y=-

4

m

交于C、D兩點，
可得射線AD的解析式為：y=-m+3（m≥3），
射線AD與雙曲線y=-

4

m

交點D的坐標為（4，-1），
同理可得射線BC與雙曲線y=-

4

m

交點C的坐標為（1，-4），
直線y=m-3與雙曲線y=-

4

m

無交點，
∴點Q的橫坐標的取值范圍是1≤m≤4．

點評：本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系是：△＞0?方程有兩個不相等的實數根；并且函數圖象的交點的坐標是函數解析式組成的方程組的公共解．