Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三點，點D是拋物線上的動點，連結AD與y軸相交于點E，連結AC，CD．

（1）求拋物線所對應的函數表達式；

（2）當AD平分∠CAB時．

①求直線AD所對應的函數表達式；

②設P是x軸上的一個動點，若△PAD與△CAD相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，0）或（13，0）．

【解析】

（1）將、、點坐標代入拋物線，化簡計算即可；

（2）設，根據平分，，軸，求得，并證得 ∽ ，利用 可的，可得點坐標，把，代入，化簡可得AD所對應的函數表達式；

因為是x軸上的一個動點，且與相似，并且是腰長為5的等腰三角形，所以 點有兩種情況：AD為等腰三角形的斜邊，或者以AD為腰，為底，分別討論求解即可.

解（1）∵拋物線經過、、三點，

∴，解得：，

∴拋物線的表達式為；

（2）作于點H，如圖，設．

∵平分，，軸，

∴，，

在中，．

∵

，

∴ ∽ ，

∴

∴，解得：，

∴，設直線AD的表達式為，

把，代入，

得，解得：，

∴直線AD所對應的函數表達式為；

直線AD與二次函數相交于點D，

∴解得或，

點D在第一象限，

∴點D坐標為，

∴，且，

∴是腰長為5的等腰三角形，

是x軸上的一個動點，且與相似，

∴也為等腰三角形，

如上圖示，

當AD為等腰三角形的斜邊時，，

∴點的坐標為；

當以AD為腰，為底時，作

點D坐標為，

∴

∴,,

∴點P的坐標為．

綜上所述點P的坐標為或．