Question

（2013•沙灣區模擬）從甲乙兩題中選作一題，如果兩題都做，只以甲題計分
題甲：已知矩形兩鄰邊的長a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當矩形的對角線長為

5

時，求k的值；
（3）當k為何值時，矩形變為正方形？

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式就可以求出k的取值范圍；
（2）根據 根與系數的關系a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，再根據勾股定理建立方程就可以求出結論；
（3）當△=0時，由根的判別式就可以求出結論．

解答：解：（1）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

；
故k的取值范圍是k≥

3

2

；

（2）∵a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根．
∴a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
∴（a+b）²=（k+1）²
∴a²+b²+2ab=k²+2k+1，
∴a²+b²=

1

2

k²+2k-1．
∵a²+b²=（

5

）²，
∴

1

2

k²+2k-1=5，
解得：k₁=-6（舍去），k₂=2
∴k=2．

（3）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=0，
解得：k=

3

2

點評：本題是一道一元二次方程的綜合試題，考查了根的判別式的運用，根與系數的關系的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時靈活運用根的判別式是解答本題的關鍵．