Question

（2013•沙灣區模擬）如圖，二次函數y=-

1

4

x2+bx+c的圖象過點A（4，0），B（-4，-4），與y軸交于點C．
（1）證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點）；
（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使|CP+BP|的值最小；
（3）若E是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過E作y軸的平行線，分別交此二次函數圖象及x軸于F、D兩點．請問是否存在這樣的點E，使DE=2DF？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用待定系數法求出二次函數解析式，進而得出C點坐標，得出tan∠BAO=tan∠CAO即可得出答案；
（2）根據C點關于對稱軸直線x=1對稱的點為C′（2，2），P點為BC′與x=1的交點，此時|CP+BP|的值最小，得出P的坐標即可；
（3）根據圖象得出DE，DF的長，進而分別求出x的值即可．

解答：（1）證明：過點B作BQ⊥x軸于點D，
∵二次函數y=-

1

4

x2+bx+c的圖象過點A（4，0），B（-4，-4），
∴

- 1 4 ×16+4b+c=0 - 1 4 ×16-4b+c=-4

，
解得：

b= 1 2 c=2

∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+2，
∴C點坐標為：（0，2），
∴CO=2，AO=4，BQ=4，AQ=4+4=8，
∵tan∠BAO=tan∠CAO=0.5，
∴∠BAO=∠CAO；

（2）解：∵C點關于對稱軸直線x=1對稱的點為C′（2，2），P點為BC′與x=1的交點，
∴P的坐標為（1，1），
此時|CP+BP|的值最小；

（3）解：AB：y=

1

2

x-2，設E（x，

1

2

x-2），（-4＜x＜4），
則F（x，-

1

4

x²+

1

2

x+2），DE=|

1

2

x-2|=2-

1

2

x，DF=|-

1

4

x²+

1

2

x+2|
當2-

1

2

x=

1

2

x²+x+4，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍去），所以E（-1，-

5

2

），
當2-

1

2

x=-

1

2

x²-x-4，
解得：x₁=-3，x₂=4（舍去），所以E（-3，-

7

2

）．
綜上所述：點E的坐標為：（-1，-

5

2

），（-3，-

7

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及軸對稱求最小值問題和點的坐標性質，注意利用絕對值的性質得出是解題關鍵．