Question

【題目】數學閱讀：

古希臘數學家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則這個三角形的面積為，其中.這個公式稱為“海倫公式”．

數學應用：

如圖1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7.

（1）請運用海倫公式求△ABC的面積；

（2）設AB邊上的高為，AC邊上的高，求的值；

（3）如圖2，AD、BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為I，求△ABI的面積．

Answer 1

【答案】（1） △ABC面積是；（2）；（3）S△ABC =

【解析】分析：（1）直接代入海倫公式計算.(2)利用海倫公式求出面積，再用一般求三角形面積公式求高.(2)角平分線的交點，到各個邊的距離相等，所以可以用三個三角形的面積等于總面積，且高都相等，列方程可求出角分線到各邊的距離.

詳解：

（1） =12△ABC面積是 .

（2）等面積法求出，

（3）如圖，過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點F、G、H，

∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，∴IF=IH=IG，

∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI， ∴（9IF+8IF+7IF）=，解得IF=

故S△ABC =ABFI=．